【東北大ライブ講義】第13回: ローラン級数とそして！【応用数学A・2023年度東北大学工学部】
14第13回から急展開！
テイラー級数展開もローラン級数展開も等比級数である！
そして大学学部生に最も愛されたフーリエ級数展開も実は…！
大関先生の伝えたかったことはここに全てが詰め込まれている！
外部受講者（公式潜りの方々は）Youtube Live上でコメントをしてください。
（講義の時間の許す限りリアクションします）
どうぞよろしくお願いします。
レポートが出題されました！
期末レポートに相応しい問題をみんなで出題しよう！
chatGPTに負けるな！
・内容：問題とその模範解答
(模範解答で、なぜその問題を出したのか？という意図も記述。模範解答が不正解でも評価に影響はない）
・評価するポイント：問題の面白さ (文章、考慮する数学的な内容の豊富さ)、引っ掛けポイントの網羅性
・出題締め切り：7/14まで
・ただしchatGPTなどを活用して回答される問題は出題できません。
・形式について：PDF
(ただし出題のためにwordやTexなどソースファイルを提供してください)。
・選ばれた問題は期末レポートで出題されます。
参考図書：
複素関数論の基礎
https://www.amazon.co.jp/dp/B01E8EQ32W/
複素関数論I
https://www.amazon.co.jp/dp/4621087169/
物理数学I
https://www.amazon.co.jp/dp/4621089978
#東北大学
#数学
#留数定理
【教員情報】
東北大学大学院情報科学研究科教授
大関 真之
Web page
https://altema.is.tohoku.ac.jp/~mohzeki/
twitter
https://twitter.com/mohzeki222
【チャプター】
0:00:00 待機画面
0:00:47 開始前雑談
0:02:43 元駿台予備校の同僚に引用ツイートされたお話
0:04:20 オープンキャンパス（OC）について
0:06:41 OP
0:07:03 OPが途中で切れちゃった
0:07:48 OCで大関研はどこにある？
0:09:23 企画①量子アニーリングワークショップ
0:12:29 企画②東北大学学部入試バトル
0:15:31 企画③大学院入試バトル
0:17:06 「うさぎとトナカイ」
授業開始
0:22:02 前回の復習
∟0:23:26 テイラー級数展開の収束半径
∟0:24:46 （ドーナツ）ローラン級数展開
∟0:26:07 ローラン級数展開の具体例
0:27:22 正則な関数はとりあえずテイラー展開
0:29:00 ローラン級数展開の各項の係数=積分の値
∟0:32:18 d0には留数が眠っている
0:35:02 改めてe^z/z^2の展開式を見てみると
0:36:15 ★留数の関係（いつでもd0）
0:42:04 例：f(z)=z/(z-1)(z-2)のローラン級数展開
∟0:43:48 ◎|z|＜1でべき級数展開
∟0:46:35 展開する領域を図示すると
∟0:48:17 ◎1＜|z|＜2でべき級数展開
∟0:53:35 |雑談＞ 問題を解くだけじゃなく出題の意図まで考えるべし！
∟0:55:59 展開する領域を図示するとドーナツ
∟0:56:51 計算しなくてもRes(z=1)がわかっちゃう
∟0:58:47 ◎|z|＞2でべき級数展開
∟1:01:40 領域はやっぱりドーナツ
∟1:02:10 1/zの項が二つ出てくる＝つまり…?
■ローラン級数をマスターしよう！
1:05:32 ★1/(z-a)^kはまず微分して次数をずらす
1:07:43 ★e^z，sin zなどの正則関数はテイラー展開する
1:08:48 ★1/(1-x)を利用して分数も展開する
∟1:11:45 1/(e^z-1)の時も無理矢理式変形！
∟1:13:15 地道に展開していく（めんどくさがるな！）
1:19:46 例：1/z^3×1/sinh(z)のローラン級数展開
∟1:20:58 sinh(z)をテイラー展開
∟1:22:55 1/(1+x)の形をとりあえず作る
∟1:24:01 とりあえず“形式的に”展開する
∟1:27:58 ちょっと問題を変えるだけで面白い問題に化ける
1:30:17 |x|＜1以外でもOK？
1:31:31 例：1/(e^z-1)
∟1:32:56 特異点までは積分経路を広げてもOK！その訳は…
1:36:12 次回予告：フーリエ級数展開